FPB dan KPK

Menentukan FPB dan KPK

1. Faktor Prima

  Faktor prima suatu bilangan-bilangan prima yang dapat membagi habis bilangan tersebut. 

Faktor dari 24 adalah 1, 2, 4, 6, 8, 12, dan 24 

2 dan 3 merupakan bilangan prima yang dapat membagi habis 24. 

Jadi, faktor prima dari 24 adalah 2 dan 3

- Bilangan prima adalah bilangan yang tepat mempunyai dua faktor atau bilangan yang hanya dapat dibagi dengan satu dan bilangan itu sendiri 

Contoh : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …

2. Faktorisasi Prima

  Faktorisasi prima adalah perkalian semua faktor-faktor prima dari suatu bilangan. 

Contoh: 

faktorisasi prima dari 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 24 x 3 

faktorisasi prima dari 100 = 2 x 2 x 5 x 5 = 22 x 52

3. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

  Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan adalah bilangan terkecil yang habis dibagi kedua bilangan tersebut. 

Cara menentukan KPK adalah dengan mengalikan semua faktor prima dari bilangan-bilangan tersebut. Jika ada faktor prima yang sama, diambil faktor prima memiliki pangkat terbesar. 

Contoh: 

Tentukan KPK dari 88 dan 68 

Jawab: 

Faktorisasi prima dari 88 = 2 x 2 x 2 x 11 = 23 x 11 

Faktorisasi prima dari 68 = 2 x 2 x 17 = 22 x 17 

KPK dari 88 dan 68 = 23 x 11 x 17 = 1.496 

Jadi, KPK dari 88 dan 68 adalah 1.496

4. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

  Faktor persekutuan terbesar dari dua bilangan adalah bilangan terbesar yang habis membagi kedua bilangan tersebut. 

Cara menentukan FPB adalah dengan mengalikan pangkat terkecil dari bilangan- bilangan tersebut dan diambil hanya faktor yang sama. 

Contoh: 

Tentukan FPB dari 88 dan 68! 

Jawab: 

Faktorisasi prima dari 88 = 2 x 2 x 2 x 11 = 23 x 11 

Faktorisasi prima dari 68 = 2 x 2 x 17 = 22 x 17 

FPB dari 88 dan 68 = 22 = 2 x 2 = 4 

Jadi, FPB dari 88 dan 68 adalah 4

Read More

Persamaan Linier Satu Variabel (PLSV)

Persamaan Linier Satu Variabel (PLSV)

Persamaan linier satu variable adalah persamaan yang hanya menggunakan satu variable saja (hanya satu variable)

1. Kalimat terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang belum jelas benar dan salahnya.
Kalimat pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah

Contoh kalimat benar

Jumlah dari enam dan dua adalah delapan
Enam dikurangi dua adalah empat

Contoh kalimat salah

Tujuh habis dibagi tiga
Persegi memiliki satu sisi

Jadi

Kalimat benar adalah kalimat yang pernyataannya memiliki nilai benar

Kalimat salah adalah kalimat yang pernyataannya memiliki nilai salah

2. Persamaan linier Satu Variabel

Pesamaan linier satu variable adalah persamaan yang hanya menggunakan satu variable saja (hanya satu variable)

Bentuk umum

ax + b = c   0, x = perubah
Persamaan linier dapat diselesaikan dengan cara

a. Menambah, mengurangi, membagi atau mengali dengan bilangan yang sama

b. Setiap pemindahan ruas, dari kirikekanan atau sebaliknya dapat diikuti perubahan tanda dari positif ke negatif atau sebaliknya.

Contoh

1.  4x -12 = 20

Jawab

4x -12 = 20
4x = 20 + 12
4x = 32
x= 8

2.  5x -20 = 10

Jawab

5x – 20 = 10
5x = 20 + 10
5x = 30
x = 6

Penerapan Untuk Persamaan Linier dalam Sehari-hari

Contoh

Jumlah siswa kelas 2 adalah 40 siswa. Jika jumlah siswa laki-laki sebanyak 12 siswa, berapa jumlah siswa perempuan.

Jawab

a + 12 = 40
a = 40 -12
a = 28

Read More

Barisan dan Deret Aritmatika

BARISAN ARITMATIKA
Barisan bilangan adalah urutan dari bilangan yang dibuat berdasarkan aturan tertentu. Sedangkan untuk barisan aritmatika adalah sebuah barisan bilangan dimana setiap pasangan suku-suku yang berurutan memiliki selisih yang sama. contoh : 4,6,8,10,....

Selisih bilangan pada barisan aritmatika disebut beda yang biasa disimbolkan dengan huruf b, untuk contoh diatas memiliki nilai beda 2. Dan bilangan yang menyusun suatu barisan disebut suku, dimana suku ke n dari suatu barisan disimbolkan dengan Un sehingga untuk suku ke 5 dari suatu barisan biasa disebut dengan U5. Khusus untuk suku pertama dari suatu barisan biasa disimbolkan dengan huruf a.

Jadi bentuk umum untuk suatu barisan aritmatika yaitu U1,U2,U3, … ,Un-1  atau  a, a+b, a+2b, … , a+(n-1)b

Menentukan Rumus Suku ke-n suatu barisan

Pasangan suku-suku berurutan dari suatu barisan aritmatika mempunyai beda yang sama, maka

U2 = a + b
U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b
U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b
U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b

Berdasarkan pola tersebut, dapatkah sobat menentukan suku ke-7, suku ke-26 hingga suku ke-90? Dengan menggunakan pola diatas kita dapat mengetahui dengan mudah suku-suku tersebut.

U7 = a + 6b
U26 = a + 25b
U90 = a + 89b

Sehingga berdasarkan runtutan penjelasan diatas untuk suku ke-n dapat kita peroleh menggunakan rumus :

Un = a + (n – 1)b, untuk n bilangan asli

DERET ARITMATIKA
Yang dimaksud dengan deret aritmatika adalah penjumlahan dari semua anggota barisan aritmatika secara berurutan. Contoh dari deret aritmatika yaitu 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + …

Misalnya kita ambil n suku pertama,  jika kita ingin menentukan hasil dari deret aritmatika sebagai contoh untuk 5 suku pertama dari contoh deret diatas. Bagaimana caranya?

7 + 10 + 13 + 16 + 19 = 65

Nah untuk 5 suku pertama, masih mungkin kita menghitung manual seperti diatas. Seandainya kita akan menentukan jumlah dari 100 suku pertama, apakah masih mungkin kita menghitung manual seperti itu. Walaupun bisa tetapi pastinya akan memakan waktu yang cukup lama. Nah kali ini akan kita tunjukkan cara menentukannya, sebagai contohnya untuk mennetukan jumlah 5 suku pertama dari contoh diatas.

Misalkan S5=7 + 10 + 13 + 16 + 19, sehingga

Deret Aritmetika

Walaupun dengan cara yang berbeda tetapi menunjukkan hasil yang sama yaitu 65. Perhatikan bahwa S5 tersebut dapat dicari dengan mengalikan hasil penjumlahan suku pertama dan suku ke-5, dengan banyaknya suku pada barisan, kemudian dibagi dengan 2. Analogi dengan hasil ini, jumlah n suku pertama dari suatu barisan dapat dicari dengan rumus berikut:

Sn = (a + Un) × n : 2

Dikarenakan Un = a + (n – 1)b, sehingga  rumus di atas menjadi

Sn = (2a + (n – 1)b) × n : 2


DERET ARITMATIKA

Sisipan pada deret aritmatika yaitu menambahkan beberapa buah bilangan diantara dua suku yang berurutan pada suatu deret aritmatika sehingga diperoleh deret aritmatika yang baru. Sebagai contoh :

Deret mula-mula = 4 + 13 + 22 + 31 +……
Setelah disisipi = 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 + 31 +……
Untuk beda dari deret baru ini biasanya dinyatakan dengan b1, dapat ditentukan dengan rumus berikut :
b1 = b/(k+1)
b1 = beda deret baru
b = beda deret mula-mula
k = banyak bilangan yang disisipkan
Barisan dan Deret Aritmatika tergolong materi yang mudah dipahami, sehingga diharapkan hanya dengan membaca artikel ini sobat semua telah mengerti tentang materi ini. Walaupun demikian, latihan soal harus tetap berjalan agar kemampuan kita selalu terasah. Materi sebelumnya yang dapat dipelajari juga yaitu Frekuensi Harapan dan Peluang Komplemen Suatu Kejadian dari sub bab peluang.

Read More

TRIGONOMETRI

RUMUS TRIGONOMETRI
Ini dia, rumus-rumus trigonometri yang sering anda pergunakan dalam pembelajaran. Mulai dari rumus dasar hingga nilai max dan min suatu fungsi yang menggunakan trigonometri.
A. Bentuk Umum

B. Sudut-Sudut Istimewa

C. Hubungan Sudut Berelasi antara Sin, Cos dan Tangen



D. Rumus-rumus Trigonometri

1. Aturan sinus


2. Aturan Cosinus


3. Luas Segitiga ABC


4. Jumlah dan Selish Dua Sudut



5. Sudut 2A (Sudut Kembar)


6. Hasil Kali Dua Fungsi Trigonometri


7. Jumlah Selisih Dua Fungsi Trigonometri


8. Persamaan Trigonometri


9. Bentuk a Cos x + b Sin x


10. Bentuk a Cos x + b Sin x = c

11. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi f(x) =a Cos x + b Sin x

Read More

kesebangunan

Rumus Kesebangunan

Rumus-rumus kesebangunan sangat dibutuhkan dalam geometri, baik bidang datar maupun bangun ruang. Rumus kesebangunan ini juga mendasari ilmu trigonometri. Dengan demikian sangat penting bagi kita untuk mengingat rumus kesebangunan ini. Berikut ini aalah rumus-rumus kesebangunan

Dua bangun dikatakan sebangun jika
a. panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua bangun tersebut memiliki perbandingan senilai
b. sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua bangun tersebut sama besar.
2. Bangun-bangun yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama dikatakan bangun-bangun yang kongruen.
3. Syarat dua segitiga sebangun adalah sisi-sisi yang bersesuaian sebanding atau sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
4. Syarat dua segitiga kongruen:
a. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang (s.s.s)
b. Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang diapitnya sama besar (s.sd.s)
c. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang berada di antaranya sama panjang (sd.s.sd)
d. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang berada di hadapannya sama panjang (sd.sd.s).

Yang pertama : untuk kasus siku-siku
Yang kedua : untuk segitiga sembarang


Penurunan rumus kesebangunan

Berapa panjang PQ jika AB (sisi yang panjang) dan DC (sisi yang pendek) diketahui panjangnya dan perbandingan AP : AC = BQ : BD diketahui.

Jawabannya ADA, simaklah ulasan berikut ini! Langsung aja ke TKP. hehehe

Pada posting sebelumnya, House of Math sudah mengulas cara menyelesaikan soal tersebut. Namun cara yang digunakan lumayan panjang. Nah sekarang House of Math akan mengulas tentang rumus cepat untuk menyelesaikan soal tersebut.
Dengan menggunakan proses berfikir pada posting pembahasan soal tersebut, kita bisa menurunkan rumus cepatnya.  Inilah caranya:

1.   Kita buat perpanjangan garis  PQ di R


2.   Misal = AP : AC = BQ : BD = m : n

3.   Selanjutnya Pandang segitiga ADC

Berlaku hubungan:


4.   Pandang segitiga ABD


Berlaku hubungan:


5.   RQ merupakan sebuah garis yang dapat dibentuk olah garis RP dan garis RQ sehingga:


6.   Sehingga untuk menghitung panjang PQ dapat langsung menggunakan rumus :


Dengan:
AB = sisi yang panjang
DC = sisi yang pendek
m : n = perbandingan letak P dan Q (kecil : besar)
Sekian penurunan rumus cepatnya, sepanjang itu menghasilkan rumus yang singkat,yang cepat, yang memudahkan pengerjaan soal.
Diposkan oleh farizrizriz di 02:48 Rumus Kesebangunan Matematika
Diposkan oleh Arya Jr di 04.09 Tidak ada komentar:
Kirimkan Ini lewat Email
BlogThis!
Berbagi ke Twitter
Berbagi ke Facebook

Peluang
Peluang, Permutasi & Kombinasi Matematika
Rumus Web mengumpulkan materi Peluang, Permutasi & Kombinasi Matematika ini untuk anak SMA demi UAN SNMPTN SPMB SIMAK UI. Silakan dipelajari :)

1) Permutasi
Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga
Permutasi k unsur dari n unsur adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda. Banyak permutasi k unsur dari n unsur ditulis atau .
Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n-1) !
Cara cepat mengerjakan soal permutasi
dengan penulisan nPk, hitung 10P4
kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur, yaitu 10.9.8.7
jadi 10P4 = 10x9x8x7 berapa itu? hitung sendiri :)
Contoh permutasi siklis :
Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?
Jawab :
Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :

2) Kombinasi
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan ,
Contoh :
Diketahui himpunan  .
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur!
Jawab :

Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).

Cara cepat mengerjakan soal kombinasi
dengan penulisan nCk, hitung 10C4
kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur lalu dibagi 4!, yaitu 10.9.8.7 dibagi 4.3.2.1
jadi 10C4 = 10x9x8x7 / 4x3x2x1 berapa itu? hitung sendiri :)
Ohya jika ditanya 10C6 maka sama dengan 10C4, ingat 10C6=10C4. contoh lainnya
20C5=20C15
3C2=3C1
100C97=100C3
melihat polanya? hehe semoga bermanfaat!
Peluang Matematika
1. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian
Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S.
Contoh:
Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)!
Jawab :
S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG}
P = {AAG, AGA, GAA}
2. Pengertian Peluang Suatu Kejadian
Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan rumus :
Contoh :
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap!
Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6
Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka:
A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3

3. Kisaran Nilai Peluang Matematika
Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k dan
Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti.
4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ).
Contoh :
Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1? Jawab :
Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6.
Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka:
A = { 1 } dan n ( A ) sehingga :
Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah

5. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga :

Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).
Peluang Kejadian Majemuk
1. Gabungan Dua Kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku :
Catatan : dibaca “ Kejadian A atau B dan  dibaca “Kejadian A dan B”
Contoh :
Pada pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap. Carilah peluang kejadian A atau B!
Jawab :

2. Kejadian-kejadian Saling Lepas
Untuk setiap kejadian berlaku  Jika  . Sehingga  Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas.
3. Kejadian Bersyarat
Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A|B) didefinisikan sebagai peluang kejadian A dengan syarat B telah terjadi. Jika  adalah peluang terjadinya A dan B, maka  Dalam kasus ini, dua kejadian tersebut tidak saling bebas.
4. Teorema Bayes
Teorema Bayes(1720 – 1763) mengemukakan hubungan antara P (A|B) dengan P ( B|A ) dalam teorema berikut ini :
5. Kejadian saling bebas Stokhastik
(i) Misalkan A dan B adalah kejadian – kejadian pada ruang sampel S, A dan B disebut dua kejadian saling bebas stokhastik apabila kemunculan salah satu tidak dipengaruhi kemunculan yang lainnya atau : P (A | B) = P (A), sehingga:

Sebaran Peluang
1. Pengertian Peubah acak dan Sebaran Peluang.
Peubah acak X adalah fungsi dari suatu sampel S ke bilangan real R. Jika X adalah peubah acak pada ruang sampel S denga X (S) merupakan himpunan berhingga, peubah acak X dinamakan peubah acak diskrit. Jika Y adalah peubah acak pada ruang sampel S dengan Y(S) merupakan interval, peubah acak Y disebut peubah acak kontinu. Jika X adalah fungsi dari sampel S ke himpunan bilangan real R, untuk setiap dan setiap  maka:

Misalkan X adalah peubah acak diskrit pada ruang sampel S, fungsi masa peluang disingkat sebaran peluang dari X adalah fungsi f dari R yang ditentukan dengan rumus berikut :

2. Sebaran Binom
Sebaran Binom atau Distribusi Binomial dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :

Dengan P sebagai parameter dan
Rumus ini dinyatakan sebagai:
 untuk n = 0, 1, 2, …. ,n
Dengan P sebagai parameter dan
P = Peluang sukses
n = Banyak percobaan
x = Muncul sukses
n-x = Muncul gagalRumus Peluang

Read More

RELASI DAN FUNGSI

RELASI DAN FUNGSI

Sekarang kita belajar kembali mengenai fungsi dan relasi. Pertama kita pelajari dulu apa itu fungsi dan relasi...?
Dalam pengertian sehari-hari, “fungsi” adalah guna atau manfaat. Kata fungsi dalam matematika sebagaimana diperkenalkan oleh Leibniz (1646-1716) terlihat di atas digunakan untuk menyatakan suatu hubungan atau kaitan yang khas antara dua himpunan.
Mengingat konsep fungsi menyangkut hubungan atau kaitan dari dua himpunan, maka disini kita awali dulu pembicaraan kita mengenai fungsi dengan hubungan atau relasi antara dua himpunan.
A.Pengertian Relasi
Suatu relasi (biner) F dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu perkawanan elemen-elemen di A dengan elemen-elemen di B.
B.Pengertian Relasi
Suatu relasi (biner) F dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu perkawanan elemen-elemen di A dengan elemen-elemen di B. didefinisikan sebagai berikut :
Definisi: Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal, dengan elemen pada B.
C.Sifat Fungsi
Dengan memperhatikan bagaimana elemen-elemen pada masing-masing himpunan A dan B yang direlasikan dalam suatu fungsi, maka kita mengenal tiga sifat fungsi yakni sebagai berikut :
1. Injektif (Satu-satu)
Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi satu-satu
(injektif), apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen yang berbeda di B. Selanjutnya secara singkat dapat dikatakan bahwa f:A→B adalah fungsi injektif apabila a ≠ a’ berakibat f(a) ≠ f(a’) atau ekuivalen, jika f(a) = f(a’)
maka akibatnya a = a’.
2. Surjektif (Onto)
Misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan A ke B maka daerah hasil f(A) dari fungsi f adalah himpunan bagian dari B. Apabila f(A) = B, yang berarti setiap elemen di B pasti merupakan peta dari sekurang-kurangnya satu elemen di A maka kita katakan f adalah suatu fungsi surjektif atau “f memetakan A Onto B”.
3.Bijektif (Korespondensi Satu-satu)
Suatu pemetaan f: A→B sedemikian rupa sehingga f merupakan fungsi yang injektif dan surjektif sekaligus, maka dikatakan “f adalah fungsi yang bijektif” atau “ A dan B berada dalam korespondensi satu-satu”
D.Jenis – jenis Fungsi
Jika suatu fungsi f mempunyai daerah asal dan daerah kawan yang sama, misalnya D, maka sering dikatakan fungsi f pada D. Jika daerah asal dari fungsi tidak dinyatakan maka yang dimaksud adalah himpunan semua bilangan real (R). Untuk fungsi-fungsi pada R kita kenal beberapa fungsi antara lain sebagai berikut.
a. Fungsi Konstan
b. Fungsi Identitas
c. Fungsi Linear
d. Fungsi Kuadrat
e. Fungsi Rasional


kedua
A. Relasi

Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain.

Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B.

Jika diketahui himpunan A = {0, 1, 2, 5}; B = {1, 2, 3, 4, 6}, maka relasi “satu kurangnya dari” himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam diagram panah, diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus.

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B dengan aturan tertentu.


Kali ini, diperkenalkan 4 cara menyatakan relasi, yaitu:
1. Dengan Himpunan Pasangan Berurutan
2. Dengan Diagram Panah
3. Dengan Diagram Cartesius
4. Dengan Rumus

1. Himpunan Pasangan Berurutan.

Himpunan yang anggotanya semua pasangan berurutan (x,y) dinamakan himpunan pasangan berurutan.

2. Diagram Panah

Langkah-langkah cara menyatakan relasi dengan diagram panah:
1.Membuat dua lingkaran atau ellips
2.Untuk meletakkan anggota himpunan A dan anggota himpunan B x=A diletakkan pada lingkaran A dan         y=B diletakkan pada lingkaran B
3. x dan y dihubungkan dengan anak panah
4. Arah anak panah menunjukkan arah relasi
5. Anak panah tersebut mewakili aturan relasi

3. Diagram Cartesius

Pada diagram cartesius diperlukan dua salib sumbu yaitu; sumbu mendatar (horisontal) dan sumbu tegak (vertikal) yang berpotongan tegak lurus.

1. x=A diletakkan pada sumbu mendatar

2. y=B diletakkan pada sumbu tegak

3. Pemasangan (x,y) ditandai dengan sebuah noktah yang koordinatnya ditulis sebagai pasangan berurutan (x,y)


4. Dengan Rumus

f(x) = x + 1, di mana x = {0, 1, 2, 5} dan f(x) = {1, 2, 3, 4, 6}



B. Fungsi

Definisi Fungsi

Fungsi f adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain).

Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil ( Range).

Untuk memberi nama suatu fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f, g, dan huruf

lainnya. Maka f(x), yang di baca “ f dari x “ menunjukkan nilai yang diberikan oleh f

kepada x. Misalkan : f(x) = x+ 2, maka f(3) = 3 + 2.




Sifat Fungsi :

1) Fungsi f :A? B disebut fungsi INTO. Karena ada kodomain yang tidak berpasangan dengan domain.

2) Fungsi f :A? B disebut fungsi INJEKTIF. Karena setiap kodomain berpasangan tepat satu dengan domain.

3) Fungsi f:A? B disebut fungsi SUBJEKTIF. Karena setiap kodomain berpasangan dengan domain.

4) Fungsi f:A? B disebut fungsi BIJEKTIF. Karena sebuah fungsi bersifat injektif sekaligus subjektif (korespondensi satu-satu). Maka jumlah anggota himpunan harus sama n(A) = n(B)

Pemetaan khusus yang terjadi jika setiap anggota A dipasangkan tepat satu ke anggota B dan anggota B dipasangkan tepat satu dengan anggota A disebut KORESPONDENSI SATU SATU.

Korespondensi satu-satu akan mungkin terjadi jika banyaknya anggota A = banyaknya anggota B.


Jenis-Jenis Fungsi

Jenis-jenis fungsi yang perlu kita ketahui diantaranya adalah :

A). Fungsi Konstan

Suatu fungsi f : A?B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstan. Apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f(x) = C, di mana C bilangan konstan.

B). Fungsi Identitas

Fungsi Identitas adalah suatu fungsi f yang dinyatakan dalam rumus f(x) = x. Fungsi identitas sering dinyatakan dengan lambang I sehingga I(x) = x.

C). Fungsi Modulus Atau Fungsi Harga Mutlak

Fungsi modulus adalah fungsi f yang memuat bentuk nilai mutlak.

D). Fungsi Linear

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax + b, di mana a ? 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus.

E). Fungsi Kuadrat

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh f(x) = ax2 + bx + c, di mana a ? 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola.

F). Fungsi Tangga (Bertingkat)

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentuk interval-interval yang sejajar.

G). Fungsi Modulus

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.

H). Fungsi Ganjil Dan Fungsi Genap

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(–x) = –f(x) dan disebut fungsi genap apabila berlaku f(–x) = f(x). Jika f(–x) ? –f(x) maka fungsi ini tidak genap dan tidak ganjil.


Fungsi Invers

Semua himpunan yang dipetakan oleh fungsi mempunyai invers. Invers dari himpunan

tersebut dapat berupa fungsi atau bukan fungsi.

Suatu fungsi f akan mempunyai invers, yaitu f –1 jika dan hanya jika fungsi f bijektif

atau dalam korespondensi satu-satu.

Untuk menentukan fungsi invers dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan cara

berikut ini.

a. Buatlah permisalan f(x) = y pada persamaan.

b. Persamaan tersebut disesuaikan dengan f(x) = y, sehingga ditemukan fungsi dalam y dan nyatakanlah x = f(y).

c. Gantilah y dengan x, sehingga f(y) = f –1(x).


Aljabar Fungsi

a. Penjumlahan f dan g didefinisikan (f + g) (x) = f(x) + g(x).

b. Pengurangan f dan g didefinisikan (f – g)(x) = f(x) – g(x).

c. Perkalian f dan g didefinisikan (f +g)(x) = f(x) + g(x).


Fungsi Komposisi

Komposisi fungsi adalah penggolongan beberapa fungsi menjadi sebuah fungsi

Read More

DEFINISI MATEMATIKA

PENGERTIAN atau DEFINISI MATEMATIKA
Sejak kita masih kecil, kita sudah diajari ilmu matematika, baik oleh orang tua maupun guru kita. tetapi kebanyakan dari kita tidak mengetahui apa definisi atau pengertian matematika yang sebenarnya. 
 Matematika atau "MATH" adalah studi abstrak seperti kuantitas (jumlah), Struktur, ruang,  dan perubahan seperti angka, grafik, tabel dan masih banyak yang lain . Ada berbagai pandangan di antara matematikawan dan filsuf sebagai dengan lingkup yang tepat dan definisi matematika.Matematikawan mencari pola dan merumuskan konjektur baru. Matematikawan menyelesaikan kebenaran atau kesalahan dugaan dengan bukti matematika. Ketika struktur matematika adalah model yang baik fenomena nyata, maka penalaran matematika dapat memberikan wawasan atau prediksi tentang alam. Melalui penggunaan abstraksi dan logika, matematika dikembangkan dari penghitungan, perhitungan, pengukuran, dan studi sistematis dari bentuk dan gerak benda-benda fisik. Matematika praktis telah menjadi kegiatan manusia untuk sejauh catatan tertulis ada. Penelitian yang diperlukan untuk memecahkan masalah matematika dapat mengambil tahun atau bahkan berabad-abad penyelidikan berkelanjutan.Argumentasi kaku pertama muncul di dalam Matematika Yunani, terutama di Elemen Euclid. Karena pekerjaan perintis Giuseppe Peano (1858-1932), David Hilbert (1862-1943), dan lain-lain pada sistem aksioma pada akhir abad ke-19, telah menjadi kebiasaan untuk melihat penelitian matematika sebagai menegakkan kebenaran dengan deduksi ketat dari aksioma dipilih secara tepat dan definisi. Matematika dikembangkan pada kecepatan yang relatif lambat, ketika inovasi matematika berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru menyebabkan peningkatan pesat dalam tingkat penemuan matematika yang terus hari ini.Galileo Galilei (1564-1642) berkata, "Alam semesta tidak dapat dibaca sampai kita telah belajar bahasa dan menjadi akrab dengan karakter yang ada tertulis. Hal ini ditulis dalam bahasa matematika, dan huruf adalah segitiga, lingkaran dan lain geometris angka, tanpa yang berarti manusia tidak mungkin untuk memahami satu kata pun. Tanpa ini, seseorang mengembara di labirin kegelapan.  Carl Friedrich Gauss (1777-1855) disebut matematika sebagai" Queen of the Sciences " . Benjamin Peirce (1809-1880) disebut matematika "ilmu yang menarik kesimpulan yang diperlukan".  David Hilbert mengatakan matematika:. "Kami tidak berbicara di sini tentang kesewenang-wenangan dalam arti apapun Matematika tidak seperti permainan yang. tugas ditentukan oleh sewenang-wenang ditetapkan aturan. Sebaliknya, itu adalah sistem konseptual memiliki kebutuhan internal yang hanya bisa begitu dan tidak berarti sebaliknya.  Albert Einstein (1879-1955) menyatakan bahwa" sejauh hukum-hukum matematika mengacu pada realitas, mereka tidak yakin,. dan sejauh mereka yakin, mereka tidak mengacu pada realitas " matematikawan Perancis Claire Voisin menyatakan" Ada dorongan kreatif dalam matematika, itu semua tentang gerakan berusaha untuk mengekspresikan dirinya sendiri. "
Matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran, keuangan dan ilmu-ilmu sosial. Matematika terapan, cabang matematika yang bersangkutan dengan penerapan pengetahuan matematika untuk bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan penemuan matematika baru, yang telah menyebabkan perkembangan seluruhnya disiplin matematika baru, seperti statistik dan teori permainan. Matematikawan juga terlibat dalam matematika murni, atau matematika untuk kepentingan diri sendiri, tanpa adanya penerapan di dalam pikiran. Tidak ada garis yang memisahkan matematika murni dan terapan, dan aplikasi praktis yang menjadi latar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan; Matematika juga sering kali kita gunakan dalam kehidupan sehari-hari, contoh saja saat kita melakukan jual beli, maka secara tidak langsung kita telah menggunakan ilmu matematika seperti menjumlahkan uang yang akan kita bayarkan atau menghitung kembaliannya.

Read More

Rumus-rumus matematika aljabar

Masih ingatkah anda tentang pelajaran suku aljabar sewaktu kita smp?? Mari kita ingat-ingat kembali pelajaran tersebut. Bagi adik-adik yang baru mulai belajar aljabar, ayo kita belajar bersama disini...

SUKU ALJABAR

A. Operasi Hitung Bentuk Aljabar

Di Kelas VII, kamu telah mempelajari pengertian bentuk aljabar, koefisien, variabel, konstanta, suku, dan suku sejenis. Untuk mengingatkanmu kembali, pelajari contoh-contoh berikut.
1. 2pq 4. x2 + 3x –2
2. 5x + 4 5. 9x2 – 3xy + 8

3. 2x + 3y –5

Bentuk aljabar nomor (1) disebut suku tunggal atau suku satu karena hanya terdiri atas satu suku, yaitu 2pq. Pada bentuk aljabar tersebut, 2 disebut koefisien, sedangkan p dan q disebut variabel karena nilai p dan q bisa berubah-ubah. Adapun bentuk aljabar nomor (2) disebut suku dua karena bentuk aljabar ini memiliki dua suku, sebagai berikut.
Suku yang memuat variabel x, koefisiennya adalah 5.
Suku yang tidak memuat variabel x, yaitu 4, disebut konstanta. Konstanta adalah suku yang nilainya tidak berubah.

Sekarang, pada bentuk aljabar nomor (3), (4), dan (5), coba kamu tentukan manakah yang merupakan koefisien, variabel, konstanta, dan suku?
1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

Pada bagian ini, kamu akan mempelajari cara menjumlahkan dan mengurangkan suku-suku sejenis pada bentuk aljabar. Pada dasarnya, sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan yang berlaku pada bilangan riil, berlaku juga untuk penjumlahan dan pengurangan pada bentuk-bentuk aljabar, sebagai berikut.
a. Sifat Komutatif
a + b = b + a, dengan a dan b bilangan riil
b. Sifat Asosiatif
(a + b) + c = a + (b +c), dengan a, b, dan c bilangan riil
c. Sifat Distributif
a (b + c) = ab + ac, dengan a, b, dan c bilangan riil


Agar kamu lebih memahami sifat-sifat yang berlaku pada bentuk aljabar, perhatikan contoh-contoh soal berikut.
Contoh Soal :

Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar berikut.
a. 6mn + 3mn
b. 16x + 3 + 3x + 4
c. –x – y + x – 3
d. 2p – 3p2 + 2q – 5q2 + 3p
e. 6m + 3(m2 – n2) – 2m2 + 3n2

Jawab:
a. 6mn + 3mn = 9mn
b. 16x + 3 + 3x + 4 = 16x + 3x + 3 + 4
= 19x + 7
c. –x – y + x – 3 = –x + x – y – 3
= –y – 3
d. 2p – 3p2 + 2q – 5q2 + 3p = 2p + 3p – 3p2 + 2q – 5q2
= 5p – 3p2 + 2q – 5q2
= –3p2 + 5p – 5q2 + 2q
e. 6m + 3(m2 – n2) – 2m2 + 3n2 = 6m + 3m2 – 3n2 – 2m2 + 3n2
= 6m + 3m2 – 2m2 – 3n2 + 3n2
= m2 + 6m

Contoh Soal :

Tentukan hasil dari:
a. penjumlahan 10x2 + 6xy – 12 dan –4x2 – 2xy + 10,
b. pengurangan 8p2 + 10p + 15 dari 4p2 – 10p – 5.

Jawab:
a. 10x2 + 6xy – 12 + (–4x2 – 2xy + 10) = 10x2 – 4x2 + 6xy – 2xy – 12 + 10
= 6x2 + 4xy – 2
b. (4p2 – 10p – 5) – (8p2 + 10p + 15) = 4p2 – 8p2 – 10p –10p – 5 – 15
= –4p2 – 20p – 20

2. Perkalian Bentuk Aljabar

Perhatikan kembali sifat distributif pada bentuk aljabar. Sifat distributif merupakan konsep dasar perkalian pada bentuk aljabar. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.
a. Perkalian Suku Satu dengan Suku Dua
Agar kamu memahami perkalian suku satu dengan suku dua bentuk aljabar, pelajari contoh soal berikut.
Contoh Soal :

Gunakan hukum distributif untuk menyelesaikan perkalian berikut.
a. 2(x + 3) c. 3x(y + 5)
b. –5(9 – y) d. –9p(5p – 2q)

Jawab:
a. 2(x + 3) = 2x + 6 c. 3x(y + 5) = 3xy + 15x
b. –5(9 – y) = –45 + 5y d. –9p(5p – 2q) = –45p2 + 18pq


b. Perkalian Suku Dua dengan Suku Dua
Agar kamu memahami materi perkalian suku dua dengan suku dua bentuk aljabar, pelajari contoh soal berikut.
Contoh Soal :

Tentukan hasil perkalian suku dua berikut, kemudian sederhanakan.
a. (x + 5)(x + 3) c. (2x + 4)(3x + 1)
b. (x – 4)(x + 1) d. (–3x + 2)(x – 5)

Jawab:
a. (x + 5)(x + 3) = (x + 5)x + (x + 5)3
= x2 + 5x + 3x + 15
= x2 + 8x + 15
b. (x – 4)(x + 1) = (x – 4)x + (x – 4)1
= x2 – 4x + x – 4
= x2 – 3x – 4
c. (2x + 4)(3x + 1) = (2x + 4)3x + (2x + 4)1
= 6x2 + 12x + 2x + 4
= 6x2 + 14x + 4
d. (–3x + 2)(x – 5) = (–3x + 2)x + (–3x + 2)(–5)
= –3x2 + 2x + 15x – 10
= –3x2 + 17x – 10


Contoh Soal :

Diketahui sebuah persegipanjang memiliki panjang (5x + 3) cm dan lebar
(6x– 2) cm. Tentukan luas persegipanjang tersebut.

Jawab:
Diketahui : p = (5x + 3) cm dan l = (6x – 2) cm
Ditanyakan : luas persegipanjang
Luas = p × l
= (5x + 3)(6x – 2)
= (5x + 3)6x + (5x + 3)(–2)
= 30x2 + 18x – 10x – 6
= 30x2 + 8x – 6
Jadi, luas persegipanjang tersebut adalah (30x2 + 8x – 6) cm2

Amati kembali Contoh Soal. Ternyata perkalian dua suku bentuk aljabar (a + b) dan (c + d) dapat ditulis sebagai berikut.
(a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d
= ac + bc + ad + bd
= ac + ad + bc + bd
Secara skema, perkalian ditulis:

Cara seperti ini merupakan cara lain yang dapat digunakan untuk menyelesaikan perkalian antara dua buah suku bentuk aljabar. Pelajari contoh soal berikut.
Contoh Soal :

Selesaikan perkalian-perkalian berikut dengan menggunakan cara skema.
a. (x + 1)(x + 2) c. (x – 2)(x + 5)
b. (x + 8)(2x + 4) d. (3x + 4)(x – 8)

Jawab:
a. (x + 1)(x + 2) = x2 + 2x + x + 2
= x2 + 3x + 2
b. (x + 8)(2x + 4) = 2x2 + 4x + 16x + 32
= 2x2 + 20x + 32
c. (x – 2)(x + 5) = x2 + 5x –2x –10
= x2 + 3x – 10
d. (3x + 4)(x –8) = 3x2 – 24x + 4x – 32
= 3x2 – 20x – 32

3. Pembagian Bentuk Aljabar

Pembagian bentuk aljabar akan lebih mudah jika dinyatakan dalam bentuk pecahan. Pelajarilah contoh soal berikut.
Contoh Soal :

Tentukan hasil pembagian berikut.
a. 8x : 4 c. 16a2b : 2ab
b. 15pq : 3p d. (8x2 + 2x) : (2y2 – 2y)
Jawab:



4. Perpangkatan Bentuk Aljabar

Di Kelas VII, kamu telah mempelajari definisi bilangan berpangkat. Pada bagian ini materi tersebut akan dikembangkan, yaitu memangkatkan bentuk aljabar. Seperti yang telah kamu ketahui, bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut.


Untuk a bilangan riil dan n bilangan asli.

Definisi bilangan berpangkat berlaku juga pada bentuk aljabar. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.
a. a5 = a × a × a × a × a
b. (2a)3 = 2a × 2a × 2a = (2 × 2 × 2) × (a × a × a) = 8a3
c. (–3p)4 = (–3p) × (–3p) × (–3p) × (–3p)
= ((–3) × (–3) × (–3) × (–3)) × (p × p × p × p) = 81p4
d. (4x2y)2 = (4x2y) × (4x2y) = (4 × 4) × (x2 × x2) × (y × y) = 16x4y2

Sekarang, bagaimana dengan bentuk (a + b)2? Bentuk (a + b)2 merupakan bentuk lain dari (a + b) (a + b). Jadi, dengan menggunakan sifat distributif, bentuk (a + b)2 dapat ditulis:
(a + b)2 = (a + b) (a + b)
= (a + b)a + (a + b)b
= a2 + ab + ab + b2
= a2 + 2ab + b2

Dengan cara yang sama, bentuk (a – b)2 juga dapat ditulis sebagai:
(a – b)2 = (a – b) (a – b)
= (a – b)a + (a – b)(–b)
= a2 – ab – ab + b2
= a2 – 2ab + b2




Selanjutnya, akan diuraikan bentuk (a + b)3, sebagai berikut.
(a + b)3 = (a + b) (a + b)2
= (a + b) (a2 + 2ab + b2) (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
= a(a2 + 2ab + b2 ) + b (a2 + 2ab + b2 ) (menggunakan cara skema)
= a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 (suku yang sejenis dikelompokkan)
= a3 + 2a2b + a2b + ab2 +2ab2 + b3 (operasikan suku-suku yang sejenis)
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Untuk menguraikan bentuk aljabar (a + b)2, (a + b)3, dan (a + b)4, kamu dapat menyelesaikannya dalam waktu singkat. Akan tetapi, bagaimana dengan bentuk aljabar (a + b)5, (a + b)6, (a + b)7, dan seterusnya? Tentu saja kamu juga dapat menguraikannya, meskipun akan memerlukan waktu yang lebih lama. Untuk memudahkan penguraian perpangkatan bentuk-bentuk aljabar tersebut, kamu bisa menggunakan pola segitiga Pascal . Sekarang, perhatikan pola segitiga Pascal berikut.


Hubungan antara segitiga Pascal dengan perpangkatan suku dua bentuk aljabar adalah sebagai berikut.


Sebelumnya, kamu telah mengetahui bahwa bentuk aljabar (a + b)2 dapat diuraikan menjadi a2 + 2ab + b2. Jika koefisien-koefisiennya dibandingkan dengan baris ketiga pola segitiga Pascal, hasilnya pasti sama, yaitu 1, 2, 1. Ini berarti, bentuk aljabar (a + b)2 mengikuti pola segitiga Pascal. Sekarang, perhatikan variabel pada bentuk a2 + 2ab + b2. Semakin ke kanan, pangkat a semakin berkurang (a2 kemudian a). Sebaliknya, semakin ke kanan pangkat b semakin bertambah (b kemudian b2). Jadi, dengan menggunakan pola segitiga Pascal dan aturan perpangkatan variabel, bentuk-bentuk perpangkatan suku dua (a + b)3, (a + b)4, (a + b)5, dan seterusnya dapat diuraikan sebagai berikut.
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
dan seterusnya.

Perpangkatan bentuk aljabar (a – b)n dengan n bilangan asli juga mengikuti pola segitiga Pascal. Akan tetapi, tanda setiap koefisiennya selalu berganti dari (+) ke (–), begitu seterusnya. Pelajarilah uraian berikut.
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
(a – b)4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4
(a – b)5 = a5 – 5a4b + 10a3b2 – 10a2b3 + 5ab4 – b5
B. Pemfaktoran Bentuk Aljabar
1. Pemfaktoran dengan Sifat Distributif

Di Sekolah Dasar, kamu tentu telah mempelajari cara memfaktorkan suatu bilangan. Masih ingatkah kamu mengenai materi tersebut? Pada dasarnya, memfaktorkan suatu bilangan berarti menyatakan suatu bilangan dalam bentuk perkalian faktor-faktornya. Pada bagian ini, akan dipelajari cara-cara memfaktorkan suatu bentuk aljabar dengan menggunakan sifat distributif. Dengan sifat ini, bentuk aljabar ax + ay dapat difaktorkan menjadi a(x + y), di mana a adalah faktor persekutuan dari ax dan ay. Untuk itu, pelajarilah Contoh Soal berikut.
Contoh Soal :

Faktorkan bentuk-bentuk aljabar berikut.
a. 5ab + 10b c. –15p2q2 + 10pq
b. 2x – 8x2y d. 1/2 a3b2 + 1/4 a2b3

Jawab:
a. 5ab + 10b
Untuk memfaktorkan 5ab + 10b, tentukan faktor persekutuan dari 5 dan
10, kemudian dari ab dan b. Faktor persekutuan dari 5 dan 10 adalah 5.
Faktor persekutuan dari ab dan b adalah b.
Jadi, 5ab + 10b difaktorkan menjadi 5b(a + 2).

b. 2x – 8x2y
Faktor persekutuan dari 2 dan –8 adalah 2. Faktor persekutuan dari x dan x2y adalah x.
Jadi, 2x – 8x2y = 2x(1 – 4xy).

c. –15p2q2 + 10pq
Faktor persekutuan dari –15 dan 10 adalah 5. Faktor persekutuan dari p2q2 dan pq adalah pq.
Jadi, –15p2q2 + 10pq = 5pq (–3pq + 2).

d. 1/2 a3b2 + 1/4 a2b3
Faktor persekutuan dari 1/2 dan 1/4 adalah 1/4.
Faktor persekutuan dari a3b2 adalah a2b3 adalah a2b2.
Jadi, 1/2 a3b2 + 1/4 a2b3 = 1/4 a2b2 (2a +b)

2. Selisih Dua Kuadrat
Perhatikan bentuk perkalian (a + b)(a – b). Bentuk ini dapat ditulis
(a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b2
= a2 – b2
Jadi, bentuk a2 – b2 dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian (a + b) (a – b).


Bentuk a2 – b2 disebut selisih dua kuadrat
Contoh Soal :

Faktorkan bentuk-bentuk berikut.
a. p2 – 4 c. 16 m2 – 9n2
b. 25x2 – y2 d. 20p2 – 5q2

Jawab:
a. p2 – 4 = (p + 2)(p – 2)
b. 25x2 – y2 = (5x + y)(5x – y)
c. 16m2 – 9n2 = (4m + 3n)(4m – 3n)
d. 20p2 – 5q2 = 5(4p2 – q2) = 5(2p + q)(2p – q)

3. Pemfaktoran Bentuk Kuadrat

a. Pemfaktoran bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1

Perhatikan perkalian suku dua berikut.
(x + p)(x + q) = x2 + qx + px + pq
= x2 + (p + q)x + pq
Jadi, bentuk x2 + (p + q)x + pq dapat difaktorkan menjadi (x + p) (x + q). Misalkan, x2 + (p + q)x + pq = ax2 + bx + c sehingga a = 1, b = p + q, dan c = pq.

Dari pemisalan tersebut, dapat dilihat bahwa p dan q merupakan faktor dari c. Jika p dan q dijumlahkan, hasilnya adalah b. Dengan demikian untuk memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1, tentukan dua bilangan yang merupakan faktor dari c dan apabila kedua bilangan tersebut dijumlahkan, hasilnya sama dengan b.
Agar kamu lebih memahami materi ini, pelajarilah contoh soal berikut.
Contoh Soal :

Faktorkanlah bentuk-bentuk berikut.
a. x2 + 5x + 6 b. x2 + 2x – 8

Jawab:
a. x2 + 5x + 6 = (x + …) (x + …)
Misalkan, x2 + 5x + 6 = ax2 + bx + c, diperoleh a = 1, b = 5, dan c = 6.
Untuk mengisi titik-titik, tentukan dua bilangan yang merupakan faktor dari 6
dan apabila kedua bilangan tersebut dijumlahkan, hasilnya sama dengan 5.
Faktor dari 6 adalah 6 dan 1 atau 2 dan 3, yang memenuhi syarat adalah 2 dan
Jadi, x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)
b. x2 + 2x – 8 = (x + …) (x + …)
Dengan cara seperti pada (a), diperoleh a = 1, b = 2, dan c = –8.
Faktor dari 8 adalah 1, 2, 4, dan 8. Oleh karena c = –8, salah satu dari
dua bilangan yang dicari pastilah bernilai negatif. Dengan demikian, dua
bilangan yang memenuhi syarat adalah –2 dan 4, karena –2 × 4 = –8 dan
–2 + 4 = 2.
Jadi, x2 + 2x – 8 = (x + (–2)) (x + 4) = (x – 2) (x + 4)


b. Pemfaktoran Bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1
Sebelumnya, kamu telah memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c dengan a = 1. Sekarang kamu akan mempelajari cara memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1.

Perhatikan perkalian suku dua berikut.
(x + 3) (2x + 1) = 2x2 + x + 6x + 3
= 2x2 + 7x + 3
Dengan kata lain, bentuk 2x2 + 7x + 3 difaktorkan menjadi (x + 3) (2x + 1). Adapun cara memfaktorkan 2x2 + 7x + 3 adalah dengan membalikkan tahapan perkalian suku dua di atas.
2x2 + 7x + 3 = 2x2 + (x + 6 x) +3 (uraikan 7x menjadi penjumlahan dua suku yaitu pilih ( x + 6x )
= (2x2 + x) + (6x + 3)
= x(2x + 1) + 3(2x + 1) (Faktorkan menggunakan sifat distributif)
= (x + 3)(2x+1)
Dari uraian tersebut dapat kamu ketahui cara memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c dengan a ≠ 1 sebagai berikut.
Uraikan bx menjadi penjumlahan dua suku yang apabila kedua suku tersebut dikalikan hasilnya sama dengan (ax2)(c).
Faktorkan bentuk yang diperoleh menggunakan sifat distributif
Contoh Soal :

Faktorkan bentuk-bentuk berikut.
a. 2x2 + 11x + 12 b. 6x2 + 16x + 18
Jawab:
a. 2x2 + 11x + 12 = 2x2 + 3x + 8x + 12
= (2x2 + 3x) + (8x + 12)
= x(2x + 3) + 4(2x + 3)
= (x + 4)(2x + 3)
Jadi, 2x2 + 11x + 12 = (x + 4)(2x + 3).
b. 6x2 + 16x + 8 = 6x2 + 4x + 12x + 8
= (6x2 + 4x) + (12x + 8)
= 2x(3x + 2) + 4(3x + 2)
= (2x + 4)(3x + 2)
Jadi, 6x2 + 16x + 8 = (2x + 4)(3x +2)
Semoga postingan kali ini dapat bermanfaat bagi anda..

Read More

Rumus-rumus bangun ruang

Kali ini saya akan mengingatkan anda kembali tentang rumus-rumus bangun ruang.

Ada banyak contoh bangun ruang yang ada pada kehidupan kita sehari-hari, lemari adalah salah satu contoh bangun ruang yaitu balok, dan masih banyak lagi contoh-contoh bangun ruang yang lainnya.

Jangan menyerah belajar matematika, karena sebenarnya belajar matematika adalah halyang menyenangkan.
Semoga postingan saya kali ini bisa bermanfaat bagi anda.

Read More

rumus matematika dasar

Ini lah beberapa rumus matematika dasar yang dulu kita hafalkan sewaktu kita masih di sekolah dasar.
Rumus bangun datar
1. Persegi
  Luas : S x S
  Keliling : 4 x Sisi
2. Persegi Panjang
  Luas : P x l
  Keliling : 2 x ( P + l )
3. Segitiga
  Luas : 1/2 a x T
  Keliing : AB + BC + CA
4 .Trapesium
  Luas : 1/2 ( a + b ) x T
  Keliling : AB + BC + CD + DA
5. Lingkaran
   Luas = π x r2
   Keliling = 2π x r
   r adalah jari jari.
   jari - jari = diameter : 2
    diameter =  2r
    π adalah 22/7 atau 3,14 cm
6. Jajar Genjang
  Keliling : 2(P + L)
  Luas : a x t
7. Belah Ketupat
  Keliling : 4s
  Luas : 1/2x d1 x d2
8. Layang-Layang
 Keliling : 2(Sisi Pendek + Sisi Panjang)
 Luas : 1/2x d1 x d1

Semoga postingan saya kali ini dapat bermanfaat bagi anda,,

Read More